已知x,y属于正实数,且x+y>2.求证:(1+y)/x和(1+x)/y中至少有一个小于2

问题描述:

已知x,y属于正实数,且x+y>2.求证:(1+y)/x和(1+x)/y中至少有一个小于2

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用反证法
若(1+y)/x>2,(1+x)/y>2
→1+y>2x,1+x>2y
→2+x+y>2x+2y
→x+y与x+y>2矛盾

用反证法
如若不然,两个式子都大于等于2,即
(1+y)/x>=2
(1+x)/y>=2

1+y>=2x
1+x>=2y
两式相加有
2+(x+y)>=2(x+y)
有x+y与题设x+y>2矛盾
故(1+y)/x和(1+x)/y中至少有一个小于2

x+y=1
(1+1/x)(1+1/y)=1+1/x+1/y+1/xy
=1+(x+y)/x+(x+y)/y+(x+y)/xy
=1+(x+y)/x+(x+y)/y+1/x+1/y
=1+2(x+y)/x+2(x+y)/y
=1+2+2+2(x/y+y/x)>=5+2*2=9