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如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

分类: 作业答案 • 2022-03-03 20:01:46

问题描述：

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

答

（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠2=90°．
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S_扇形BOC=

60π×22

360

＝

2π

3

．
在Rt△OCD中，
∵

CD

OC

＝tan60°，
∴CD＝2

3

．
∴SRt△OCD＝

1

2

OC×CD＝

1

2

×2×2

3

＝2

3

．
∴图中阴影部分的面积为：2

3

−

2π

3

．