已知中心在坐标原点上直线x+y-1=0与椭圆交与M、N点,且向量OM*向量ON=-7
问题描述：
已知中心在坐标原点上直线x+y-1=0与椭圆交与M、N点,且向量OM*向量ON=-7
已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的离心率为√3/2,直线x+y-1=0与椭圆相交于M、N,且向量OM*向量ON=-7,求椭圆标准方程.
答
由于离心率为e=c/a√3/2,以及a^2=b^2+c^2，所以得出b^2=1/4a^2
设椭圆焦点在X轴上，所以其方程为x^2/a^2+4y^2/a^2=1,
设M（x1，1-x1），N（x2,1-x2），x+y-1=0与x^2/a^2+4y^2/a^2=1联立消去y，整理得5x^2-8x+4-a^2=0
又向量OM*向量ON=-7，即x1.x2+(1-x1).(1-x2)=-7整理得2x1.x2-（x1+x2）=-8
由一元二次方程跟与系数的关系有2*（4-a^2）/5+8/5=-8
解得a^2=28,所以椭圆标准方程是x^2/28+y^2/7=1
注：方法是这样，不知道我计算错了没有，自己再去算算吧）