若矩形的长、宽和对角线的长度都是整数，求证：这个矩形的面积是12的倍数．
问题描述：
若矩形的长、宽和对角线的长度都是整数，求证：这个矩形的面积是12的倍数．
答
[证法1]设矩形的长、宽和对角线长分别为a，b，c且a，b，c都是整数，则根据勾股定理知a2+b2=c2，我们只需证明a，b，c中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除．（1）先证“a，b中必有一个能被3整除”．若a，b都不是...
答案解析：设矩形的长、宽和对角线长分别为a，b，c且a，b，c都是整数，则根据勾股定理知a2+b2=c2，我们只需证明a，b，c中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除．
（1）利用反证法假设a，b都不是3的倍数，则a2与b2必被3除余1，则c2必被3除余2，但完全平方数被3除只能余0或1，故可知a，b中必有3的倍数；
（2）将a2+b2=c2中的a，b，c的公约数约去，得x2+y2=z2，其中x，y，z两两互质，再分别根据x，y不能全是奇数和x，y不能全是偶数再设x=2p+1，y=2m（其中p，m均为整数），代入y2=z2-x2中进行讨论即可．
考试点：整数问题的综合运用．
知识点：本题考查的是整数问题的综合运用，此题涉及到数的整除性问题、奇数与偶数、质数与合数、带余数的除法、勾股定理等知识，涉及面较广，难度较大．