设方阵A满足A2-A-2E=0,证明:A和A+2E均可逆,并求A和A+2E的逆矩阵.
问题描述:
设方阵A满足A2-A-2E=0,证明:A和A+2E均可逆,并求A和A+2E的逆矩阵.
答
证明:∵方阵A满足A2-A-2E=0,
∴A2-A=2E,
∴A×
=EA−E 2
所以A可逆,逆矩阵为
,A−E 2
∵方阵A满足A2-A-2E=0,
∴A2=A+2E,
由A可逆知A2可逆,
所以A+2E可逆,
逆矩阵为[
]2=A−E 2
(A−E)2
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