设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x∈[0,π6]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程.

问题描述:

设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)当x∈[0,

π
6
]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程.

(1)f(x)=1+cos2x+sin2x+a=

2
sin(2x+
π
4
)+1+a,
∵ω=2,∴T=π,
∴f(x)的最小正周期π;
当2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)时f(x)单调递增,
解得:kπ-
8
≤x≤kπ+
π
8
(k∈Z),
则x∈[kπ-
8
,kπ+
π
8
](k∈Z)为f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈[0,
π
6
]时,
π
4
≤2x+
π
4
12

当2x+
π
4
=
π
2
,即x=
π
8
时,sin(2x+
π
4
)=1,
则f(x)max=
2
+1+a=2,
解得:a=1-
2

令2x+
π
4
=kπ+
π
2
(k∈Z),得到x=
2
+
π
8
(k∈Z)为f(x)的对称轴.
答案解析:(1)函数f(x)解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,找出ω的值代入周期公式即可求出函数的最小正周期;由正弦函数的单调递增区间为[2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
](k∈Z)求出x的范围即为函数的递增区间;
(2)由x的范围求出这个角的范围,利用正弦函数的单调性求出正弦函数的最大值,表示出函数的最大值,由已知最大值求出a的值即可,令这个角等于kπ+
π
2
(k∈Z),求出x的值,即可确定出对称轴方程.
考试点:二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.
知识点:此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,三角函数的周期性及其求法,以及正弦函数的单调性,熟练掌握公式是解本题的关键.