已知过定点P(0,1)的直线l交双曲线x^2-y^2/4=1于A,B两点,问：若直线AB的中点为M,求M点的轨迹方程
问题描述：
已知过定点P(0,1)的直线l交双曲线x^2-y^2/4=1于A,B两点,问：若直线AB的中点为M,求M点的轨迹方程
过定点P(0,1)的直线l为：y=kx+1
代入双曲线,得 4x²-(kx+1)²=4,整理得 (4-k²)x² -2kx-5=0 (1)
设A、B分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x,y)
则有 x1+x2=2k/(4-k²),x1x2=-5/(4-k²)；y1+y2=k(x1+x2)+2=2k²/(4-k²)+2
∴对M：x=(x1+x2)/2=k/(4-k²),y=(y1+y2)/2=k²/(4-k²)+1=4/(4-k²)
通过代数式组合,可得4x²-y²+y=0
至于y的范围：因有两个交点,则方程(1)必有两个不同的根
∴△=4k²+4*5*(4-k²)=80-16k²>0 => 5-k²>0 => 4-k²>-1 => y=4/(4-k²)1,我也实在不知道是怎么出来的,不过图画出来确实有两个范围
就是这道题,代数式组合是怎么组合的啊?
答
x=k/(4-k^2) (1)
y=4/(4-k^2) (2)
由（2）得
4-k^2=4/y
k^2=4-4/y
k=2√(1-1/y) (3)
将（3）代入（1）
x=2√(1-1/y)/(4-(4-4/y))
=2√(1-1/y)/(4/y)
=y√(1-1/y)/2
两边平方：
x^2=y^2/4*(1-1/y)=1/4*(y^2-y)
4x^2=y^2-y
4x^2-y^2+y=0