已知函数f(x)=a+1/(2的x次方-1)+是奇函数,求实数a的值和f(x)的值域.
问题描述：
已知函数f(x)=a+1/(2的x次方-1)+是奇函数,求实数a的值和f(x)的值域.
答
a=1/2
值域为 负2分之1到正无穷大
答
f(-x)=a+2^x/(1-2^x)=-f(x)=a+1/(2^x-1)
整理得a=(2^x+1)/2(2^x-1)
答
f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)
f(x)+f(-x)
=a+1/(2^x-1)+a+1/[2^(-x)-1]
=2a+1/(2^x-1)+1/[2^(-x)-1]
={2^x-1+2^(-x)-1+2a(2^x-1)[2^(-x)-1]}/{(2^x-1)*[2^(-x)-1]}
={[2^x+2^(-x)]*(1-2a)+4a-2}/{(2^x-1)*[2^(-x)-1]}
={[2^x+2^(-x)]*(1-2a)-2(1-2a)}/{(2^x-1)*[2^(-x)-1]}
=0
显然,1-2a=0,a=1/2
f(x)=1/2+1/(2^x-1)
2^x>0
2^x-1>-1
1/(2^x-1)∈(-∞,-1)∪(0,+∞)
值域:(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)