已知二次函数f（x）=x2-x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）-2在(-1，32)上有两个不同的零点，则[f(x)]2+2f(x)的最小值为 ___ ．
问题描述：
已知二次函数f（x）=x2-x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）-2在(-1，
)上有两个不同的零点，则3 2
的最小值为 ___ ．
[f(x)]2+2 f(x)
答
知识点：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
若函数g（x）=x2-x+k-2在(-1，
)上有两个不同的零点，3 2
则
，而k∈Z，则k=2．
1-4(k-2)＞0 g(-1)＞0 g(
)＞03 2
∴二次函数f（x）=x2-x+2，其值域f（x）∈[
，+∞），7 4
=f(x)+
[f(x)]2+2 f(x)
≥22 f(x)
=2
f(x)•
2 f(x)
，
2
当且仅当f（x）=
即f（x）=2 f(x)
时取等号，
2
而
∉[
2
，+∞），7 4
∴当f（x）=
时，7 4
的最小值为
[f(x)]2+2 f(x)
．81 28
故答案为：
81 28
答案解析：根据函数g（x）=x2-x+k-2在(−1，
)上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k值从而得出二次函数f（x）=x2-x，值域，再将3 2
=f(x)+
[f(x)]2+2 f(x)
结合基本不等式即可求出2 f(x)
的最小值．
[f(x)]2+2 f(x)
考试点：二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
知识点：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．