用数学归纳法证明詹森(Jensen)不等式

若f为凹函数,即f’’=a1*f(x1)+a2*f(x2)+……+an*xn
恒成立.
证明：不是一般性,令xi=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立
欲证上式成立,即证明[a1+(1-a1) ]*f[a1*x1+(1-a1)*x2] >=a1*f(x1)+(1-a1)*f(x2)成立,移项并合并同类项后上式可变为：
a1*{f[a1*x1+(1-a1)*x2]- f(x1)}>=(1-a1)*{ f(x2)- f[a1*x1+(1-a1)*x2]} （1）
根据罗尔中值定理,有：[f(x)-f(x’)]/(x-x’)=f’(y),x==y1.由f’’=f’(y2),因此（1）式成立.（注：麦克劳林展开只有在（x2-x1)趋于零时成立,因此,此处不能使用麦克劳林展开公式）.
（2）证明n=2^k(k为正整数)时命题成立,首先证明n=4时原命题成立,则由（1）可得：
（a1+a2）*f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]>=(a1+a2)*[a1/(a1+a2)f(x1)+a2/(a1+a2)*f(x2)] (2)
（a3+a4）*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4]>=(a3+a4)*[a3/(a3+a4)f(x3)+a4/(a3+a4)*f(x4)] (3)
将上述（2）式与（3）式同时除以（a1+a2+a3+a4）,再次利用（1）式可得：
f[a1/(a1+a2+a3+a4)*x1+a2/( a1+a2+a3+a4)*x2+a3/( a1+a2+a3+a4)*x3+ a4/( a1+a2+a3+a4)*x4]
>=(a1+a2)/(a1+a2+a3+a4)* f[a1/(a1+a2)*x1+a2/(a1+a2)*x2]+
（a3+a4）/(a1+a2+a3+a4)*f[a3/(a3+a4)*x3+a4/(a3+a4)*x4] (4)
由于a1+a2+a3+a4=1,因此（4）式左边部分即为f(a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4),右边部分即为a1*f(x1)+a2*f(x2)+a3*f(x3)+a4*f(x4),n=4时,命题得证.同理可从最底层开始运用公式（1）证明n=2^k(k1且k2)的情形依然成立.
（3）当n2^k时,可将ai*xi分成m个部分,即m个ai/m*xi之和,使得n+(m-1)=2^k,再利用上式便可直接得到原命题.
（4）当ai均趋向于0时,取其极限形式,便可证明f[E(x)]>=E[f(x)],将f函数符号改为U符号,即得微观经济学中冯诺依曼期望效用的一个不等式.