如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=23，求△ACF的面积．
问题描述：
如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为8，cos∠BFA=
，求△ACF的面积． 2 3
答
知识点：本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．
证明：（1）连接BO，∵AB=AD∴∠D=∠ABD∵AB=AO∴∠ABO=∠AOB（2分）又在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°∴∠OBD=90°，即BD⊥BO∵OB是⊙O的半径∴BD是⊙O的切线；（3分）（2）∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF∴△ACF...
答案解析：（1）利用斜边上的中线等于斜边的一半，可判断△DOB是直角三角形，则∠OBD=90°，BD是⊙O的切线；
（2）同弧所对的圆周角相等，可证明△ACF∽△BEF，得出一相似比，再利用三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
考试点：圆的切线的判定定理的证明；相似三角形的判定．
知识点：本题综合考查了圆的切线的性质、圆的性质、相似三角形的判定及性质等内容，是一个综合较强的题目，难度较大．