证明e^x在x→a的极限为e^a用定义证明当x→a时,e^x的极限是e^a
问题描述：
证明e^x在x→a的极限为e^a
用定义证明当x→a时,e^x的极限是e^a
答
设t = x - a;
e^x - e^a = e^a*(e^(x - a) - 1) = e^a*(e^t - 1);
对于任意小的正数 r,
令 | e^x - e^a | | (e^t - 1) | 1 - r/ | e^a | Ln[1 - r/ | e^a |] 即对于任意小的正数 r,
当Ln[1 - r/ | e^a |] | e^x - e^a | 所以e^x在x → a的极限为e^a
答
证明：任给小正数ξ
要使│e^x-e^a│=e^a│e^(x-a)-1│1）若ξ/e^a>=1,则1-ξ/e^aδ=ln(1+ξ/e^a)即有02）若0因为-ln(1-ξ/e^a)=ln[e^a/(e^a-ξ)]>ln[e^a+ξ)/e^a]显然成立,所以此时
取δ=ln(1+ξ/e^a),则有0综上,取δ=ln(1+ξ/e^a),对一切0因此,当x→a时,e^x的极限是e^a