2道,微积分,⑴ 2∫（下限是0,上限是正无穷大）*2x*e的（-2x）次方dx+3∫（下限是0,上限是正无穷大）*3x*e的（-3x）次方dx ⑵ ∫（下限是0,上限是正无穷大）*（∫（下限是0,上限是正无穷大）*xy*e的（-x-y）次方*dy）dx

(1)2∫(0,∞)2x*e^(-2x)dx+3∫(0,∞)3x*e^(-3x)dx
首先求不定积分2∫2x*e^(-2x)dx+3∫3x*e^(-3x)dx
由分部积分法容易求得
2∫2x*e^(-2x)dx+3∫3x*e^(-3x)dx
=-(2x*e^(-2x)+3x*e^(-3x)+e^(-2x)+e^(-3x))+C
故
2∫(0,∞)2x*e^(-2x)dx+3∫(0,∞)3x*e^(-3x)dx
=lim(b--∞)[-(2b*e^(-2b)+3b*e^(-3b)+e^(-2b)+e^(-3b))+2]
=2
(2)∫(0,∞)(∫(0,∞)xye^(-x-y)dy)dx
(i)
∫xye^(-x-y)dy
=-∫xye^(-x-y)d(-x-y)
=-xe^(-x-y)(y+1)+C
故
∫(0,∞)xye^(-x-y)dy
=lim(b--∞)[-xe^(-x-b)(b+1)+xe^(-x)]
=xe^(-x)
(ii)
∫xe^(-x)dx
=-∫x^e(-x)d(-x)
=-∫xde^(-x)
=-e^(-x)(x+1)+C
故
∫(0,∞)xe^(-x)dx
=lim(b--∞)[-e^(-b)(b+1)+1]
=1
(iii)
∫(0,∞)(∫(0,∞)xye^(-x-y)dy)dx=1

(1)2∫（下限是0,上限是正无穷大）*2x*e的（-2x）次方dx+3∫（下限是0,上限是正无穷大）*3x*e的（-3x）次方dx
= -2∫（下限是0,上限是正无穷大）*xd(e^(-2x))-3∫（下限是0,上限是正无穷大）*xd(e^(-3x))
= {-2xe^(-2x)|(0,无穷）+2∫（下限是0,上限是正无穷大）e^(-2x)dx}+{-3xe^(-3x)|(0,无穷）+3∫（下限是0,上限是正无穷大）e^(-3x)dx}
= {0+[-e^(-2x)]|(0,无穷)}+{0+[-e^(-3x)]|(0,无穷)}
={1}+{1}
=2
(2)此类属于变量可分离的积分；
∫（下限是0,上限是正无穷大）*（∫（下限是0,上限是正无穷大）*xy*e的（-x-y）次方*dy）dx
={∫（下限是0,上限是正无穷大）xe^(-x)dx}*{∫（下限是0,上限是正无穷大）ye^(-y)dx}
={-∫（下限是0,上限是正无穷大）xde^(-x)}*{-∫（下限是0,上限是正无穷大）yde^(-y)}
={-xe^(-x)|(0,无穷）+∫（下限是0,上限是正无穷大）e^(-x)dx}*{-ye^(-y)|(0,无穷）+∫（下限是0,上限是正无穷大）e^(-y)dy}
={0-e^(-x)|（0,无穷）}*{0-e^(-y)|（0,无穷）}
={1}*{1}
=1
上面两个积分运算中用到了lim(x->无穷) xe^(-x)=0,这由络毕达法则容易得到.