数学中的陷阱数6174给出的证明是什么?

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神秘的6174－黑洞数
随便造一个四位数,如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2＝8621,再把1628的四个数字由小到大排列得a3＝1268,用大的减去小的a2-a1=8621-1268＝7353,把7353按上面的方法再作一遍,由大到小排列得7533,由小到大排列得3357,相减7533-3367＝4176 把4176再重复一遍：7641-1467＝6174.如果再往下作,奇迹就出现了!7641-1467＝6174,又回到6174.这是偶然的吗?我们再随便举一个数1331,按上面的方法连续去做：3311-1133＝2178 8721-1278＝7443 7443-3447＝3996 9963-3699＝6264 6624-2466＝4174 7641-1467＝6174 好啦!6174的“幽灵”又出现了,大家不妨试一试,对于任何一个数字不完全的四位数,最多运算7步,必然落入陷阱中.这个黑洞数已经由印度数学家证明了.在数学中由有很多有趣,有意义的规律等待我们去探索和研究,让我们在数学中得到更多的乐趣.苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中,提到了一个奇妙的四位数6174,并把它列作“没有揭开的秘密”.不过,近年来,由于数学爱好者的努力,已经开始拨开迷雾.
6174有什么奇妙之处
请随便写出一个四位数,这个数的四个数字有相同的也不要紧,但这四个数不准完全相同或有完全相同趋向,例如 3333、7777、7337等都应该排除.写出四位数后,把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺序重新排列,将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者,两者相减,就得到另一个四位数.将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换,又得到一个最大的数和最小的数,两者相减……这样循环下去,一定在经过若干次（最多7次）变换之后,得到6174.例如,开始时我们取数8208,重新排列后最大数为8820,最小数为0288,8820—0288＝8532；对8532重复以上过程：8532－2358=6174.这里,经过两步变换就掉入6174这个“陷阶”.需要略加说明的是：以0开头的数,例如0288也得看成一个四位数.再如,我们开始取数2187,按要求进行变换：2187 → 8721－1278＝7443→7443－3447＝3996→9963－3699=6264→6642－2466＝4176→7641－1467＝6174.这里,经过五步变换就掉入了“陷阱”——6174.拿6174 本身来试,只需一步：7641－1467=6174,就掉入“陷阱”再也出不来了.所有的四位数都会掉入6174设的陷阱,不信可以取一些数进行验证.验证之后,你不得不感叹6174的奇妙.任何一个数字不全相同整数,经有限次“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数."重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数.
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