已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[1b，1a]，则a+b=（ ）A. 1B. 1+52C. 1+52D. 3+52
问题描述：
已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[
，1 b
]，则a+b=（ ）1 a
A. 1
B.
1+
5
2
C. 1+
5
2
D.
3+
5
2
答
知识点：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，涉及二次函数的性质，注意先由奇函数的性质，求出x＞0时，f（x）的解析式．
设x＞0，有-x＜0，则f（-x）=-2x+x2，
又由y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
则x＞0时，f（x）=2x-x2，
对于a、b分三种情况讨论：
①、当a＜1＜b时，f（x）=2x-x2的最大值为1；得
=1，即a=1，不合题意，舍去，1 a
②、当a＜b＜1时，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，而
＞1，不合题意，舍去，1 a
③、当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调减，可得
，解可得a=1，b=
f(a)＝
1 a f(b)＝
1 b
，符合题意，1+
5
2
则a+b=
；3+
5
2
故选D．
答案解析：根据题意，先由奇函数的性质，分析可得x＞0时，f（x）=2x-x2，对于正实数a、b，分三种情况讨论：①、当a＜1＜b时，②、当a＜b＜1时，③、当1≤a＜b时，结合二次函数的性质，分析可得a、b的值，将其相加可得答案．
考试点：奇偶性与单调性的综合．
知识点：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，涉及二次函数的性质，注意先由奇函数的性质，求出x＞0时，f（x）的解析式．