如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是(  )A. 42B. 4.75C. 5D. 4.8

问题描述:

如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是(  )
A. 4

2

B. 4.75
C. 5
D. 4.8

如图,∵∠ACB=90°,
∴EF是直径,
设EF的中点为O,圆O与AB的切点为D,连接OD,CO,CD,则OD⊥AB.
∵AB=10,AC=8,BC=6,
∴∠ACB=90°,
∴EF为直径,OC+OD=EF,
∴CO+OD>CD,
∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时,EF=CD有最小值
∴由三角形面积公式得:CD=BC•AC÷AB=4.8.
故选D.
答案解析:设EF的中点为O,圆O与AB的切点为D,连接OD,连接CO,CD,则有OD⊥AB;由勾股定理的逆定理知,△ABC是直角三角形OC+OD=EF,由三角形的三边关系知,CO+OD>CD;只有当点O在CD上时,OC+OD=EF有最小值为CD的长,即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时,EF=CD有最小值,由直角三角形的面积公式知,此时CD=BC•AC÷AB=4.8.
考试点:切线的性质;勾股定理的逆定理;圆周角定理.
知识点:本题利用了切线的性质,勾股定理的逆定理,三角形的三边关系,直角三角形的面积公式求解.