如图,在△ABC中,AC=40,BC=30,AB=50.矩形DEFG的边EF在AB上,顶点D、G分别在AC、BC上.设EF=x.(1)用含x的代数式表示DE的长;(2)当x取什么值时,矩形DEFG的面积最大?最大面积是多少?

问题描述:

如图,在△ABC中,AC=40,BC=30,AB=50.矩形DEFG的边EF在AB上,顶点D、G分别在AC、BC上.设EF=x.

(1)用含x的代数式表示DE的长;
(2)当x取什么值时,矩形DEFG的面积最大?最大面积是多少?

(1)如图,∵AC=40,BC=30,AB=50,
∴AC2+BC2=AB2
∴△ABC是直角三角形.
作CH⊥AB于H,交DG于T,
∴AB.CH=AC.BC,
∴50CH=30×40,
∴CH=24.
∵四边形DEFG是矩形,
∴DG∥EF,TH=DE,
∴△CDG∽△CAB,

CT
CH
DG
AB

24−DE
24
x
50

∴DE=24-
12
25
x;
(2)设矩形的面积为S,
S=x(24-
12
25
x),
=-
12
25
x2+24x,
=-
12
25
(x2-50x),
=-
12
25
(x-25)2+300,
故当x=25时,矩形的最大面积为300.
答案解析:(1)作CH⊥AB于H,交DG于T,由条件可得△CDG∽△CAB,就有
CT
CH
DG
AB
,由条件可以求得△ABC为Rt△,可以求出CH 的值,从而就可以表示出DE.
(2)由(1)的解析式表示出矩形的面积,然后转化为顶点式就可以求出其最大值.
考试点:相似三角形的判定与性质;二次函数的最值.
知识点:本题考查了勾股定理的逆定理的运用,相似三角形的判定与性质,矩形的面积公式的运用,二次函数的顶点式的运用及最值的确定.