设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程(2)求S(t)的最大值.

问题描述:

设曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程
(2)求S(t)的最大值.

本题主要考查函数、导函数、不等式等基础知识,同时考查分析、推理和对基础知识的理解运用能力.
(Ⅰ)因为f′(x)=(e-x)t=-e-x,
所以切线l的斜率为-e-t.
故切线l的方程为y-e-t=-e-t(x-t).即e-tx+y-e-t(t+1)=0.
(Ⅱ)令y=0得x=t+1,
又令x=0得y=e-t(t+1),
所以S(t)=(t+1)·e-t(t+1)
=(t+1)2e-t.
从而S′(t)= e-t(1-t)(1+t).
∵当t∈(0,1)时,S′(t)>0,
当t∈(1,+∞)时,S′(t)所以S(t)的最大值为S(1)=.

我表示你是高三学生,只点拨你一下,y=e^(-x)的导数为y=-e^(-x),即该点斜率清楚为k=-e^(-t),直线用点斜式解决,面积估计也是需要用导数求出最值来

(1)y'=-e^(-x),k=-e^(-t).故l:y-e^(-t)=-e^(-t)(x-t),y=-e^(-t)x+(t+1)e^(-t).
(2)令x=0,得y=(t+1)e^(-t);令y=0,得x=t+1.故S(t)=1/2(t+1)^2*e^(-t).
求导取最大值即可(您会求吧,输入太麻烦了不好意思)

y`=-1
切线l的方程 y-e+t=-(x-t)=t-x x+y=e
面积 e^2/2