设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件(1) 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x; (2) 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2; (3) f(x)在R上的最小值为0. 求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

问题描述:

设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件
(1) 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
(2) 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2;
(3) f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.

f(x-4)=f(2-x),∴函数的图象关于x=-1对称,∴-b/2a=-1,b=2a.
   由(3)x=-1时,y=0,即a-b+c=0,
   由(1)得f(1)≥1,由(2)得f(1)≤1,
   ∴f(1)=1,即a+b+c=1,又a-b+c=0,∴b=1/2,a=1/4,c=1/4,
   ∴f(x)=(1/4)x2+(1/2)x+(1/4).
   假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.取x=1有f(t+1)≤1.即((1/4)(t+1))2+((1/2)(t+1))+(1/4)≤1,解得-4≤t≤0.对固定的t∈〔-4,0〕,取x=m,有f(t+m)≤m,即((1/4)(t+m)2)+((1/2)(t+m))+(1/4)≤m,化简有m2-2(1-t)m+
(t2+2t+1)≤0解得1-t-(√-4t)≤1-t+(√(-4t))于是有m≤1-t+√(-4t)≤1-(-4)+ √(-4(-4))=9.当t=-4时,对任意的x∈[1,9],恒有f(x-4)-x=(1/4)(x2-10x+9)=1/4(x-1)(x-9)≤0.所以m的最大值为9。

因为f(x)在R上的最小值为0即a>0,Δ1=0则b²-4ac=0…………. ①而当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;所以设对称轴X0,则X0=(x-4+2-x)/2=-1则-b/2a=-1 即b=2a. ②而f(x)≥x,所以ax²+(b-1)x+c≥0横成立,而a...