已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式f(x)ex＞2的解集为（　　）A. （-∞，0）B. （0，+∞）C. （-∞，2）D. （2，+∞）

分类: 作业答案 • 2022-02-20 16:23:08

问题描述：

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＜f′（x），且f（0）=2，则不等式

f(x)

＞2的解集为（　　）
A. （-∞，0）
B. （0，+∞）
C. （-∞，2）
D. （2，+∞）

答

设g（x）=

f(x)

，
则g'（x）=

f′(x)ex−f(x)ex

[ex]2

＝

f′(x)−f(x)

，
∵f（x）＜f′（x），
∴g'（x）＞0，即函数g（x）单调递增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=

f(0)

＝f(0)＝2，
则不等式

f(x)

＞2等价为

f(x)

＞

f(0)

，
即g（x）＞g（0），
∵函数g（x）单调递增．
∴x＞0，
∴不等式

f(x)

＞2的解集为（0，+∞），
故选：B．
答案解析：根据条件构造函数g（x）=

f(x)

，利用导数求函数的单调性，即可解不等式．
考试点：导数的运算；其他不等式的解法．
知识点：本题主要考查导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．