A是△BCD平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点,(1)求证:直线EF与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

问题描述:

A是△BCD平面外的一点,E、F分别是BC、AD的中点,

(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

(1)证明:用反证法.设EF与BD不是异面直线,
则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,
所以A、B、C、D在同一平面内,
这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.
故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G,连接EG、FG,由于E、F分别是BC、AD的中点,
则EG平行且等于

1
2
BD,FG平行且等于
1
2
AC,
所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角.
由AC⊥BD,AC=BD,可得EG⊥GF,EG=GF.故等腰Rt△EGF中,有∠FEG=45°,
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
答案解析:(1)假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,得到A、B、C、D在同一平面内,矛盾.
(2)取CD的中点G,利用三角形中位线的性质找出异面直线成的角∠FEG,把此角放在一个三角形中,
解此三角形,求出此角的大小.
考试点:异面直线的判定;异面直线及其所成的角.

知识点:本题考查异面直线的证明方法,及求异面直线成的角,属于中档题.