答
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜．
从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．
所以，当x=时，f（x）取得最小值-．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，
设h（x）=2lnx+x+，
则h′（x）=+1-==
∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=4
故a≤4
即实数a的取值范围为（-∞，4]
证明：（III）若lnx＞−
则lnx•x＞−，
由（I）得：lnx•x≥−，当且仅当x=时，取最小值；
设m（x）=−，则m′（x）=，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，h（x）单调递减，
故当x=1时，h（x）取最大值−
故对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞−成立．
答案解析：（I）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，构造函数h（x）=2lnx+x+，则a≤hmin（x），进而得到实数a的取值范围；
（Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞−成立，即lnx•x＞−，结合（1）中结论可知lnx•x≥−，构造新函数m（x）=−，分析其最大值，可得答案．
考试点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．
知识点：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，熟练掌握导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键．
