设a,b.c属于(0,正无穷)且a+b+c=1,求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8104 8

问题描述:

设a,b.c属于(0,正无穷)且a+b+c=1,求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
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我来试试吧...
证明: 要证明 (1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
通分 (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
等价于证明
1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)-abc≥8abc
代入a+b+c=1
等价于证明
ab+bc+ac≥9abc

下证明
a²+b²≥2ab
可得(a²+b²)c≥2abc
同理可得(a²+c²)b≥2abc
(b²+c²)a≥2abc
三式左右相加得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc
上式两端同时加上3abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc≥9abc
重新排一下顺序,再把3abc拆成三个abc,得
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a+3abc
=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)
=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c
=(bc+ac+ab)(a+b+c)

故(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc
又a+b+c=1,则(bc+ac+ab)≥9abc

1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a
所以
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=(a+b)(b+c)(c+a)/abc
>=2根号ab 2根号bc 2根号ca)/abc
=8