在棱锥P-ABC中,侧棱PA、PB、PC两两垂直,Q为底面△ABC内一点,若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5,则以线段PQ为直径的球的表面积为(  )A. 100πB. 50πC. 25πD. 52π

问题描述:

在棱锥P-ABC中,侧棱PA、PB、PC两两垂直,Q为底面△ABC内一点,若点Q到三个侧面的距离分别为3、4、5,则以线段PQ为直径的球的表面积为(  )
A. 100π
B. 50π
C. 25π
D. 5

2
π

根据题意:点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体,
则其外接球的直径即为PQ且为长方体的体对角线.
∴2r=

32+42+52 
=5
2

r=
5
2
2

由球的表面积公式得:S=4πr2=50π
故选B.
答案解析:根据题意,点Q到三个侧面的垂线与侧棱PA、PB、PC围成一个棱长为3、4、5的长方体,分析可知以PQ为直径的球是它的外接球,再由长方体和其外接球的关系求解.
考试点:球的体积和表面积;棱柱的结构特征.
知识点:本题主要考查空间几何体的构造和组合体的基本关系.