在圆O的内接三角形ABC中,AB+AC=12,AD⊥BC,垂足为D,且AD=3,设圆O的半径为y,AB为x.…在圆O的内接三角形ABC中,AB+AC=12,AD⊥BC,垂足为D,且AD=3,设圆O的半径为y,AB为x.求(1)求y与x得函数关系式.(2)当AB长等于多少时,圆O的面积最大?最大面积是多少?

1. 作直径AE，连接CE，如图所示，则∠ACE=90°，

　　∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90度．

　　又∠B=∠E，

　　∴△ABD∽△AEC

　　∴设⊙O的半径为y，AB的长为x．∴

　　AB=12-x．　AE=2y

．∴

AB   

AD   

AE   

AC   

即 

　　x

　　3

=

　　2y

　　12-x

．

　　整理得y=-

　　1

　　6

（x-6）2+6．

　　∴y=-

　　1

　　6

（x-6）2+6，则当x=6时，y取得最大值，最大值为6．

　　∴⊙O的最大面积为36π．

　　故答案为36π．

　　．

开头是 因为AE是直径所以∠ABE=90°因为AD⊥BC所以∠ADC=90°因为∠BEA和∠BCA所对的圆周角相等所以∠BEA=∠BCA所以△BEA∽△DCA因此AB*AC=AD*AE

（1）连接AO并延长交圆O于点E,连接BE,由上述结论可知
AB•AC=AD•AE
因为AB+AC=12,AB=x
所以AC=12－x
所以（12－x）•x=3×2y,
所以y与x之间的表达式为
y=-1/6(x^2)+2x
（2）当x=-b/2a=-2/[2*(-1/6)]=-6 时,y最大且y(max)=[4ac-b^2]/4a = [4*(-1/6)*0-2^2]/[4*(-1/6)] = 6
此时圆O的面积为 S=πR^2=36π,所以当AB的长为6时,圆O的面积最大,最大面积为36π.