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在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．（1）求y关于x的函数关系式；（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大，并求出⊙O的最大面积．

分类: 作业答案 • 2022-05-19 12:49:11
问题描述：

在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC，垂足为D，且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x．

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大，并求出⊙O的最大面积．

答

（1）作直径AE，连接CE，如图所示，则∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC．
∴

AB
AD
＝
AE
AC
，即
x
3
＝
2y
12−x
．
整理得y=−
1
6
（x-6）2+6．
（2）由（1）知y=−
1
6
（x-6）2+6，则当x=6时，y取得最大值，最大值为6．
∴⊙O的最大面积为36π．
答案解析：（1）由题意知，需作出圆的直径AE，利用直径所对的圆周角是直角，得出△ABD∽△AEC．根据相似三角形的性质得到边之间的对应比相等，建立函数关系式；
（2）根据二次函数的最值的求法，结合（1）中的函数关系式进行求解．
考试点：二次函数综合题；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
知识点：此题主要考查三角形相似及二次函数最大值的求法．

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