已知函数f(x)=-x2+2x.(1)讨论f(x)在区间(-∞,1]上的单调性,并证明你的结论;(2)当x∈[0,5]时,求f(x)的最大值和最小值.

问题描述:

已知函数f(x)=-x2+2x.
(1)讨论f(x)在区间(-∞,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)当x∈[0,5]时,求f(x)的最大值和最小值.

(1)∵二次函数f(x)=-x2+2x的图象是开口向下的抛物线,关于x=1对称,
∴函数在区间(-∞,1]上是单调增函数,证明如下
设x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=-x12+2x1-(-x22+2x2)=(x1-x2)(2-x1-x2
∵x1-x2<0,2-x1-x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0,得f(x1)<f(x2),
因此f(x)在区间(-∞,1]上是单调增函数;
(2)∵f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,5)上是减函数
∴当x∈[0,5]时,f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f(5)=-15.
答案解析:(1)根据二次函数的图象可得函数在区间(-∞,1]上是单调增函数,再用函数单调性的定义进行证明即可;
(2)由函数的图象结合函数的单调性,不难得到f(x)的最大值和最小值.
考试点:二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质.
知识点:本题给出一个二次函数,叫我们求它的单调区间和闭区间上的最值,着重考查了二次函数的图象与性质和函数单调性的定义等知识,属于中档题.