已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式．
问题描述：
已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=
，n∈N*．
an+an+1
2
（1）令bn=an+1-an，证明：{bn}是等比数列；
（2）求{an}的通项公式．
答
知识点：考查学生会确定一个数列为等比数列，会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式．以及会利用等比数列的前n项和的公式化简求值．
（1）证b1=a2-a1=1，
当n≥2时，bn＝an+1−an＝
−an＝−
an−1+an
2
(an−an−1)＝−1 2
bn−1，1 2
所以{bn}是以1为首项，−
为公比的等比数列．1 2
（2）解由（1）知bn＝an+1−an＝(−
)n−1，1 2
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=1+1+（-
）+…+(−1 2
)n−21 2
=1+
=1+1−(−
)n−1
1 2 1−(−
)1 2
[1−(−2 3
)n−2]=1 2
−5 3
(−2 3
)n−1，1 2
当n=1时，
−5 3
(−2 3
)1−1＝1＝a1．1 2
所以an＝
−5 3
(−2 3
)n−1(n∈N*)．1 2
答案解析：（1）先令n=1求出b1，然后当n≥2时，求出an+1的通项代入到bn中化简可得{bn}是以1为首项，−
为公比的等比数列得证；1 2
（2）由（1）找出bn的通项公式，当n≥2时，利用an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）代入并利用等比数列的前n项和的公式求出即可得到an的通项，然后n=1检验也符合，所以n∈N，an都成立．
考试点：等比关系的确定；数列递推式．
知识点：考查学生会确定一个数列为等比数列，会利用数列的递推式的方法求数列的通项公式．以及会利用等比数列的前n项和的公式化简求值．