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如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E． （1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离． （2）证明：BC+CD=AC．

分类: 作业答案 • 2022-02-09 17:28:24
问题描述：

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．

（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD=AC．

答

（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，
∴CE=

1
2
BC=1，BE=
3
，AC=2BC=4．
∵AM：CM=1：2，
∴AM=
4
3
，CM=
8
3
，
∴EM=
5
3
，在Rt△BEM中由勾股定理得
BM=
(
3
)2+(
5
3
)2
  =
2
13
3
．
过点C作CF⊥BM于点F．
∴
BM．CF
2
＝
CM．BE
2
．
∴
2
13
3
CF
2
＝
8
3
×
3
2
，
∴CF=
4
39
13
．
即点C到BM的距离
4
39
13
．

（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，
∵AB=AD，∠ABD=60°，

∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=180°-∠BCD=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，
∴∠ADC=∠BDF，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDF，
∴AC=BF=BC+CF，
即AC=BC+CD．

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