二阶微分方程y''=1+(y')^2的通解
问题描述：
二阶微分方程y''=1+(y')^2的通解
用pdp/dy=y'',p=y'此方法
只用这种方法!
我用这种方法做到
p^2=e^(2y+2c)-1然后就做不来了
答
既然知道这么做会很麻烦,为啥还要这么做呢
往下的话,可以写成
p^2=(y')^2=C1e^(2y)-1
所以y'=√(C1e^(2y)-1)
所以dy/√(C1e^(2y)-1)=dx
然后令u=√(C1e^(2y)-1)
所以y=(1/2)ln(1+u^2)-C'
dy=udu/(1+u^2)
所以
∫dy/√(C1e^(2y)-1)=∫du/(1+u^2)=arctanu=arctan√(C1e^(2y)-1)
所以dy/√(C1e^(2y)-1)=dx的两边积分得到
arctan√(C1e^(2y)-1)=x+C2