1.求曲线x^2+y^2+z^2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线和法平面
问题描述：
1.求曲线x^2+y^2+z^2=6,x+y+z=0在点(1,-2,1)处的切线和法平面
2.求曲面z=2x^2+4y^2上点（2,1,12）处的切平面和法线
3.在曲面z=xy上求一点,是该点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0,并写出该法线方程
答
1、两个方程两边求导,2x+2y*dy/dx+2z*dz/dx=0,1+dy/dx+dz/dx=0,代入x=1,y=-2,z=1得dy/dx=0,dz/dx=-1.所以切线的方向向量是(1,dy/dx,dz/dx)=(1,0,-1).
所以切线的方程是x-1=(y+2)/0=1-z.
法平面的方程是(x-1)+0-(z-1)=0,即x-z=0.
2、设F(x,y,z)=2x^2+4y^2-z),Fx=4x,Fy=8y,Fz=-1,代入x=2,y=1,切平面的法向量是(Fx,Fy,Fz)=(8,8,-1).
切平面的方程是8(x-2)+8(y-1)-(z-12)=0,即8x+8y-z-12=0.
法线的方程是(x-2)/8=(y-1)/8=-(z-12).
3、法线的方向向量是平面的法向量(1,3,1).设所求点是(a,b,ab).
设F(x,y,z)=xy-z,法线的方向向量是(Fx,Fy,Fz)=(y,x,-1)=(b,a,-1).
(1,3,1)//(b,a,-1),所以b/1=a/3=-1/1,所以a=-3,b=-1.
所求点是(-3,-1,3).