已知数列an前n项和sn,s1=1/2,且s(n)*s(n-1)-2sn=1求an

s(n+1)s(n)-2s(n+1)=1,
x*x-2x=1,0=x^2-2x-1=(x-1)^2-2=[x-1+2^(1/2)][x-1-2^(1/2)],
令,x=1+2^(1/2).x(x-2)=1.
[s(n+1)-x][s(n)-x]-2[s(n+1)-x]=s(n+1)s(n)-xs(n)-xs(n+1)+x^2-2s(n+1)+2x
=1-x[s(n)+s(n+1)]+x^2+2x
=2x^2-x[s(n)+s(n+1)]
=-x[s(n)-x +s(n+1)-x],
若某个s(k)=x,则,s(k-1)=x,...,s(1)=x与s(1)=1/2矛盾.
因此s(n)不等于x,n=1,2,...
b(n)=s(n)-x,
b(n+1)b(n)-2b(n)=-xb(n)-xb(n+1),
1-2/b(n+1)=-x/b(n+1)-x/b(n),
(x-2)/b(n+1)=-x/b(n)-1,
1/b(n+1)=[x/(2-x)]/b(n)+1/(2-x),
1/b(n+1)+y = [x/(2-x)][1/b(n)+y],1/(2-x)=y[x/(2-x)-1]=y[2x-2]/(2-x),
y=1/(2x-2),
1/b(n+1)+1/(2x-2) = [x/(2-x)][1/b(n) + 1/(2x-2)],
{1/b(n) + 1/(2x-2)}是首项为1/b(1) + 1/(2x-2)=1/[s(1)-x] + 1/(2x-2)=1/[1/2-x] + 1/(2x-2)=2/(1-2x)+1/(2x-2)=[4x-4+1-2x]/[(1-2x)(2x-2)]=(2x-3)/[(1-2x)(2x-2)],公比为x/(2-x)的等比数列.
1/b(n) + 1/(2x-2) = (2x-3)/[(1-2x)(2x-2)]*[x/(2-x)]^(n-1),
1/b(n) = (2x-3)x^(n-1)/[(1-2x)(2x-2)(2-x)^(n-1)] - 1/(2x-2)
=[(2x-3)x^(n-1) - (1-2x)(2-x)^(n-1)]/[(1-2x)(2x-2)(2-x)^(n-1)],
s(n)=b(n)+x=(1-2x)(2x-2)(2-x)^(n-1)/[(2x-3)x^(n-1) - (1-2x)(2-x)^(n-1)]=
s(n+1)=(1-2x)(2x-2)(2-x)^n/[(2x-3)x^n - (1-2x)(2-x)^n],
a(n+1)=s(n+1)-s(n),
a(1)=s(1)=1/2,
a(n+1)=s(n+1)-s(n)
=(1-2x)(2x-2)(2-x)^n/[(2x-3)x^n - (1-2x)(2-x)^n] - (1-2x)(2x-2)(2-x)^(n-1)/[(2x-3)x^(n-1) - (1-2x)(2-x)^(n-1)],n=1,2,...
其中,x=1+2^(1/2).
[利用x(x-2)=1还可以把a(n)的公式化一哈简,俺就偷懒,不做了哈.]