设随机变量X概率分布为P(X＝k)＝Ck!（K=0，1，2，…）则E（X2）=______．
问题描述：
设随机变量X概率分布为P(X＝k)＝
（K=0，1，2，…）则E（X2）=______． C k!
答
由分布列的性质可得：1＝
∞ k＝0
＝Ce，C k!
∴C=e-1，
从而：E(X2)＝
k2∞ k＝1
＝e−1C k!
∞ k＝1
，k (k−1)!
构造幂级数
∞ k＝1
xk−1，k (k−1)!
令：S(x)＝
∞ k＝1
xk−1，k (k−1)!
则：
S(x)dx＝
∫
x
0
∞ k＝1
xk＝xex，1 (k−1)!
从而：S（x）=（x+1）ex，
因此：
∞ k＝1
＝S(1)＝2e，k (k−1)!
∴E(X2)＝
k2∞ k＝1
＝e−1C k!
∞ k＝1
＝2．k (k−1)!
答案解析：首先根据分布列的性质“概率和为1”和
∞ k＝0
＝e求出常数C，然后用期望的定义得到E（X2）的表达式，最后用幂级数求和方法算出得数．1 k!
考试点：离散型随机变量的分布律；幂级数和函数的性质；概率的基本性质．
知识点：考查随机变量的数字特征和分布列的性质，知识点较为简单，但期间用到了函数的幂级数展开式ex＝
∞ k＝0
，以及用逐项积分的方法求幂级数的和．xk k!