设函数f(x)＝sinx/2+cosx． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
设函数f(x)＝
．sinx 2+cosx
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
（Ⅰ）f′(x)＝
＝(2+cosx)cosx−sinx(−sinx) (2+cosx)2
．（2分）2cosx+1 (2+cosx)2
当2kπ−
＜x＜2kπ+2π 3
（k∈Z）时，cosx＞−2π 3
，即f'（x）＞0；1 2
当2kπ+
＜x＜2kπ+2π 3
（k∈Z）时，cosx＜−4π 3
，即f'（x）＜0．1 2
因此f（x）在每一个区间(2kπ−
，2kπ+2π 3
)（k∈Z）是增函数，f（x）在每一个区间(2kπ+2π 3
，2kπ+2π 3
)（k∈Z）是减函数．（6分）4π 3
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），则g′(x)＝a−
=a−2cosx+1 (2+cosx)2
+2 2+cosx
=3(3 (2+cosx)2
−1 2+cosx
)2+a−1 3
．1 3
故当a≥
时，g'（x）≥0．1 3
又g（0）=0，所以当x≥0时，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
当0＜a＜
时，令h（x）=sinx-3ax，则h'（x）=cosx-3a．1 3
故当x∈[0，arccos3a）时，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上单调增加．
故当x∈（0，arccos3a）时，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，当x∈（0，arccos3a）时，f(x)＝
＞sinx 2+cosx
＞ax．sinx 3
当a≤0时，有f(
)＝π 2
＞0≥a•1 2
．π 2
因此，a的取值范围是[
，+∞)．（12分）1 3