已知函数f(x)满足:f(1)=14,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=(  ) A.12 B.13 C.14 D.1

问题描述:

已知函数f(x)满足:f(1)=

1
4
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2010)=(  )
A.
1
2

B.
1
3

C.
1
4

D. 1

解法一:∵4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
取x=1,y=0得f(0)=

1
2

根据已知知f(1)=
1
4

取x=1,y=1得f(2)=-
1
4

取x=2,y=1得f(3)=-
1
2

取x=2,y=2得f(4)=-
1
4

取x=3,y=2得f(5)=-
1
4

取x=3,y=3得f(6)=
1
2


猜想得周期为6
∴f(2010)=f(0)=
1
2

解法二:取x=1,y=0得f(0)=
1
2

取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),
同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)=-f(n-1)
所以f(n)=-f(n+3)=f(n+6)
所以函数是周期函数,周期T=6,
故f(2010)=f(0)=
1
2

故选A