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已知函数f（x）满足：f（1）=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=（　　） A.12 B.13 C.14 D.1

分类: 作业答案 • 2022-02-02 23:26:22

问题描述：

已知函数f（x）满足：f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=（　　）
A.

1

2

B.

1

3

C.

1

4

D. 1

答

解法一：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
取x=1，y=0得f（0）=

1

2

根据已知知f（1）=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-

1

4

取x=2，y=1得f（3）=-

1

2

取x=2，y=2得f（4）=-

1

4

取x=3，y=2得f（5）=-

1

4

取x=3，y=3得f（6）=

1

2

…
猜想得周期为6
∴f（2010）=f（0）=

1

2

解法二：取x=1，y=0得f（0）=

1

2

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2010）=f（0）=

1

2

故选A