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设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，π6]时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．

分类: 作业答案 • 2022-02-01 09:22:46
问题描述：

设函数f（x）=2cos2x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π
6
]时，f（x）的最大值为2，求a的值，并求出y=f（x）（x∈R）的对称轴方程．

答

（1）f（x）=1+cos2x+sin2x+a=

2
sin（2x+
π
4
）+1+a，
∵ω=2，∴T=π，
∴f（x）的最小正周期π；
当2kπ-
π
2
≤2x+
π
4
≤2kπ+
π
2
（k∈Z）时f（x）单调递增，
解得：kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
（k∈Z），
则x∈[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]（k∈Z）为f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，
π
6
]时，
π
4
≤2x+
π
4
≤
7π
12
，
当2x+
π
4
=
π
2
，即x=
π
8
时，sin（2x+
π
4
）=1，
则f（x）max=
2
+1+a=2，
解得：a=1-
2
，
令2x+
π
4
=kπ+
π
2
（k∈Z），得到x=
kπ
2
+
π
8
（k∈Z）为f（x）的对称轴．

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