如图,已知点F是正方形ABCD的边BC的中点,CG平分∠DCE,GF⊥AF.求证:AF=FG.

问题描述:

如图,已知点F是正方形ABCD的边BC的中点,CG平分∠DCE,GF⊥AF.求证:AF=FG.

证明:取AB的中点M,连接FM.
∵点F是正方形ABCD的边BC的中点,
∴BF=BM,
∴∠BMF=45°,
∴∠AMF=135°.
∵CG平分∠DCE,
∴∠GCE=45°,
∴∠FCG=135°,
∴∠AMF=∠FCG.
∵∠B=90°,∴∠FAM=90°-∠AFB,
∵GF⊥AF,∴∠GFC=90°-∠AFB,
∴∠FAM=∠GFC.
在△FAM和△GFC中,

∠FAM=∠GFC
AM=FC
∠AMF=∠FCG

∴△FAM≌△GFC,
∴AF=FG.