如图,已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.(1)求△ABC所扫过的图形的面积;(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;(3)若∠BEC=15°,求AC的长.

问题描述:

如图,已知△ABC的面积为3,且AB=AC,现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA.
(1)求△ABC所扫过的图形的面积;
(2)试判断AF与BE的位置关系,并说明理由;
(3)若∠BEC=15°,求AC的长.

(1)连接BF,由题意知△ABC≌△EFA,BA∥EF,且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形,
∴S平行四边形ABFE=2S△EAF
∴△ABC扫过图形的面积为S平行四边形ABFE+S△ABC=2×3+3=9;
(2)由(1)知四边形ABFE为平行四边形,且AB=AE,
∴四边形ABFE为菱形,
∴AF与BE互相垂直且平分.
(3)过点B作BD⊥CA于点D,
∵AB=AE,
∴∠AEB=∠ABE=15°.
∴∠BAD=30°,BD=

1
2
AB=
1
2
AC.
1
2
BD•AC=3,
1
2
1
2
AC•AC=3.
∴AC2=12.
∴AC=2
3

答案解析:(1)根据题意:易得△ABC≌△EFA,BA∥EF,且BA=EF,进而得出S平行四边形ABFE=2S△EAF,故可求出△ABC扫过图形的面积为S平行四边形ABFE+S△ABC
(2)根据平移的性质,可得四边形ABFE为菱形,故AF与BE互相垂直且平分;
(3)根据题意易得:所以∠AEB=∠ABE=15°,
1
2
BD•AC=3,可得
1
2
1
2
AC•AC=3,进而可得AC的长度.
考试点:平移的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.
知识点:本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解.考查了学生综合运用数学的能力.