三角形ABC中,BD=DC=AC,D为BC中点,E是DC中点,证明AD平分角BAE

问题描述:

三角形ABC中,BD=DC=AC,D为BC中点,E是DC中点,证明AD平分角BAE

AC:BC=CE:AC=1:2,夹角C相等,所以△ABC∽△AEC,(定理二)那么
∠B=∠CAE,又AC=DC,所以∠CAD=∠CAE+∠EAD=∠CDA=∠B+∠DAB,所以
∠BAD=∠EAD,即AD平分角BAE

证明:CE=1/2AC=1/4BC
ABC相似于EAC
所以角CAE=角CBA
因为CD=AC
所以角CDA=角CAD
所以角ABD+角ADB=角ABD+角CAD+角ACD=角ABD+角ADC+角ACD=角CAE+角ADC+角ACD=
角ADE+角AED
所以角BAD=角DAE
所以AD平分角BAE

将AE延长到G,使得AE=EG,同时连接DG.由AE=EG,DE=EC可知,角c=角CDG
AC=DG
由DC=AC可知,角CDA=角DAC .所以角ADB=角DAC+角C=角ADC+角CDG=角ADG,
于是三角形ADB全等于三角形ADG,于是角BAD=角GAD,于是问题得证.