在三角形ABC中,分别以AC,BC为边向形外作等边三角形ACD,BCE,BD与AE相交于M,连接CM,求证：CM平分角DME

设AE交BC于O
∵△ACD和△BCE是等边三角形
∴AC=DC CE=BC ∠ACD=∠BCE=∠CBE=60°
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB即∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△BCD（可以是△ACE绕C点顺时针旋转了60°得到△BCD)
∴∠DBC=∠CEA
∵∠COE=∠BOM
∴△COE∽△BOM
∴OC/OM=OE/OB OC×OB=OM×OE
∴C、E、B、M四点共圆（相交弦定理的逆定理）
∴∠CME=∠CBE=60°（同弧上的圆周角相等）
∠AMD=∠BEC=60°（圆内接四边形的外角=不相邻的内对角）
∴∠DMC=180°-∠AMD-∠CME=180°-60°-60°=60°
∴∠DMC=∠CME
即CMC平分∠DME

证明：
∵⊿ACD和⊿BCE都是等边三角形
∴AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=60º
∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB
即∠DCB=∠ACE
∴⊿DCB≌⊿ACE（SAS）
∴BD=AC,S⊿DCB=S⊿ACE
作CM⊥BD于M,CN⊥AE于N
则S⊿DCB=½CM×BD,S⊿ACE=½CN×AE
∴CM =CN【或不用写面积,直接写全等三角形对应边上的高相等】
∴CM平分∠DME【到角两边的距离相等的点在角的平分线上】