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已知数列{an}的各项均为正数，它的前n项和Sn满足Sn＝1/6(an+1)(an+2)，并且a2，a4，a9成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=（-1）n+1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n．

分类: 作业答案 • 2022-01-30 10:24:45
问题描述：

已知数列{an}的各项均为正数，它的前n项和Sn满足Sn＝

1
6
(an+1)(an+2)，并且a2，a4，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=（-1）n+1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n．

答

（1）∵对任意n∈N*，有Sn＝

1
6
(an+1)(an+2)①当n≥2时，
有Sn−1＝
1
6
(an−1+1)(an−1+2)②
当①-②并整理得（an+an-1）（an-an-1-3）=0，
而{an}的各项均为正数，所以an-an-1=3．
∴当n=1时，有S1＝a1＝
1
6
(a1+1)(a1+2)，解得a1=1或2，
当a1=1时，an=1+3（n-1）=3n-2，此时a42=a2a9成立；
当a1=2时，an=2+3（n-1）=3n-1，此时a42=a2a9不成立；舍去．
所以an=3n-2，n∈N*，
（2）T2n=b1+b2+…+b2n
=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2（a1-a3）+a4（a3-a5）+…+a2n（a2n-1-a2n+1）
=-6a2-6a4-…-6a2n=-6（a2+a4+…+a2n）
=−6×
n(4+6n−2)
2
＝−18n2−6n．

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