F1,F2为椭圆c:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右两个焦点,直线l:y=2x+5与椭圆C交于两点P1、P2,已知椭圆中心O点关于l的对称点恰好落在C的左准线l'上

设原点O关天直线y=2x+5的对称点为O'(x0,y0)
则OO'的中点在直线y=2x+5上,则y0/2=x0+5.(1)
OO'与直线y=2x+5垂直,则OO'的斜率y0/x0=-1/2...(2)
解(1)(2)得x0=-4,y0=2
点O'在左准线上,则x0=-a^2/c=-4
所以c=a^2/4
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)
把y=2x+5代入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1中得:
(4a^2+b^2)x^2+20a^2x+25a^2-a^2b^2=0
x1+x2=-20a^2/(4a^2+b^2)
向量F1P1*向量OF2,-5/9*a^2,向量F2P2*向量OF2成等差数列
则2(-5a^2/9)=向量F1P1*向量OF2+向量F2P2*向量OF2
向量F1P1=(x1+c,y1)
向量OF2=(c,0)
向量F2P2=(x2-c,y2)
向量F1P1*向量OF2=(x1+c,y1)*(c,0)=(x1+c)*c+y1*0=(x1+c)c
向量F2P2*向量OF2=(x2-c,y2)*(c,0)=(x2-c)*c+y2*0=(x2-c)c
所以2(-5a^2/9)=(x1+c)c+(x2-c)c=x1c+x2c=(x1+x2)c
又x1+x2=-20a^2/(4a^2+b^2)
所以2(-5a^2/9)=-20ca^2/(4a^2+b^2)
即a^2/9=2ca^2/(4a^2+b^2)
把c=a^2/4代入上式解得:a^2=2b^2
又a^2=b^2+c^2=b^2+a^4/16
所以a^2=8,b^2=4
所以椭圆方程:x^2/8+y^2/4=1