求函数值域的求法

在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定.研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用.确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环.对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下,供参考.
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到.
例1. 求函数 的值域.
∵
∴
显然函数的值域是：
例2. 求函数 的值域.
∵

故函数的值域是：
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一.
例3. 求函数 的值域.
将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时, ,当 时,
故函数的值域是：[4,8]
3. 判别式法
例4. 求函数 的值域.
原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当 时,

解得：
（2）当y=1时, ,而
故函数的值域为
例5. 求函数 的值域.
两边平方整理得： （1）
∵
∴
解得：
但此时的函数的定义域由 ,得
由 ,仅保证关于x的方程： 在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程（1）有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为 .
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域.
∵

代入方程（1）
解得：
即当 时,
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除.
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域.
例6. 求函数 值域.
由原函数式可得：
则其反函数为： ,其定义域为：
故所求函数的值域为：
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域.
例7. 求函数 的值域.
由原函数式可得：
∵
∴
解得：
故所求函数的值域为
例8. 求函数 的值域.
由原函数式可得： ,可化为：

即
∵
∴
即
解得：
故函数的值域为
6. 函数单调性法
例9. 求函数 的值域.
令
则 在[2,10]上都是增函数
所以 在[2,10]上是增函数
当x=2时,
当x=10时,
故所求函数的值域为：
例10. 求函数 的值域.
原函数可化为：
令 ,显然 在 上为无上界的增函数
所以 , 在 上也为无上界的增函数
所以当x=1时, 有最小值 ,原函数有最大值
显然 ,故原函数的值域为
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.
例11. 求函数 的值域.
令 ,
则
∵
又 ,由二次函数的性质可知
当 时,
当 时,
故函数的值域为
例12. 求函数 的值域.
因
即
故可令
∴

∵

故所求函数的值域为
例13. 求函数 的值域.
原函数可变形为：
可令 ,则有

当 时,
当 时,
而此时 有意义.
故所求函数的值域为
例14. 求函数 , 的值域.


令 ,则

由
且
可得：
∴当 时, ,当 时,
故所求函数的值域为 .
例15. 求函数 的值域.
由 ,可得
故可令

∵

当 时,
当 时,
故所求函数的值域为：
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.
例16. 求函数 的值域.

原函数可化简得：
上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2）, 间的距离之和.
由上图可知,当点P在线段AB上时,
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
故所求函数的值域为：
例17. 求函数 的值域.
原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点 到两定点 的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时, ,
故所求函数的值域为

例18. 求函数 的值域.
将函数变形为：
上式可看成定点A（3,2）到点P（x,0）的距离与定点 到点 的距离之差.
即：
由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点 ,则构成 ,根据三角形两边之差小于第三边,有
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有
综上所述,可知函数的值域为：

注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧.
如：例17的A,B两点坐标分别为：（3,2）, ,在x轴的同侧；例18的A,B两点坐标分别为（3,2）, ,在x轴的同侧.
9. 不等式法
利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧.
例19. 求函数 的值域.
原函数变形为：

当且仅当
即当 时 ,等号成立
故原函数的值域为：
例20. 求函数 的值域.



当且仅当 ,即当 时,等号成立.
由 可得：
故原函数的值域为：
10. 一一映射法
原理：因为 在定义域上x与y是一一对应的.故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围.
例21. 求函数 的值域.
∵定义域为
由 得
故 或
解得
故函数的值域为
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数 的值域.
令 ,则
（1）当 时, ,当且仅当t=1,即 时取等号,所以
（2）当t=0时,y=0.
综上所述,函数的值域为：
注：先换元,后用不等式法
例23. 求函数 的值域.


令 ,则



∴当 时,
当 时,
此时 都存在,故函数的值域为
注：此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 的有界性.
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法.