定义【a,b,c】为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1– m,–1–m]的函数的一些结论：①当m＞0,函数图象截x轴所得的线段长度大于三分之二.②当m＜0,函数在x＞0时,y随x的增大而减小.结论是否正确?
问题描述：
定义【a,b,c】为函数y=ax2+bx+c的特征数,下面给出特征数为[2m,1– m,–1–m]的函数的一些结论：①当m＞0,函数图象截x轴所得的线段长度大于三分之二.②当m＜0,函数在x＞0时,y随x的增大而减小.结论是否正确?
答
a=2m b=1-m c=-1-m代入
y=2mx²+(1-m)x-1-m=2mx²-(m-1)x-(m+1)
方程2mx²-(m-1)x-(m+1)=0判别式
[-(m-1)]²+8(m+1)
=m²+6m+9
=(m+3)²
m>0时,(m+3)²>0,方程有两不等实根,函数图像与x轴恒有两交点.
设两根分别为x1,x2,由韦达定理得
x1+x2=(m-1)/(2m)
x1x2=-(m+1)/(2m)
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2=[(m-1)/(2m)]²+4(m+1)/(2m)
=(9m²+6m+1)/(4m²)
=[(3m+1)/2m]²
|x1-x2|=|(3m+1)/2m|
m>0 |x1-x2|=(3m+1)/(2m)=(3/2) +1/(2m)
1/(2m)>0 (3/2)+1/(2m)>3/2>2/3 感觉题目有点问题,当然也不错,不过原题是不是2分之3啊.
结论①正确.
对称轴x=(m-1)/(4m)=(1/4) -1/(4m)
m1/4,即对称轴在x=1/4右侧,而不是x=0,因此结论②错误.