已知抛物线y^2=4x,点P(1,1),焦点F
问题描述：
已知抛物线y^2=4x,点P(1,1),焦点F
(1)若点P的直线与抛物线交于A,B两点,且P恰为线段AB的中点,求此直线方程
（2）若过点F的直线与抛物线交于A,B两点,且S△OAB=2√2,求此直线方程
答
（1）抛物线y^2=4x,焦点为F(1,0)
设过点P的直线方程为x=k(y-1)+1
代入抛物线得 y^2=4x=4k(y-1)+4,即y^2-4ky+4(k-1)=0
由于P恰为AB中点,则有
y1+y2=4k=2,解得k=1/2
∴直线方程为x=1/2*(y-1)+1,即y=2(x-1)+1=2x-1
（2）设过F(1,0)的直线为x=ky+1
代入抛物线得 y^2=4x=4ky+4,即y^2-4ky-4=0
则S△OAB=S△OFA+S△OFB
=1/2*|OF|*|y(A)|+1/2*|OF|*|y(B)|
=1/2*|OF|*(|y(A)|+|y(B)|)
=1/2*|OF|*|y(A)-y(B)|
=1/2*1*|y(A)-y(B)|
=2√2
=> |y(A)-y(B)|=4√2
由韦达定理有
y1+y2=4k,y1y2=-4
而|y(A)-y(B)|=√[(y1-y2)^2]
=√[(y1+y2)^2-4y1y2]
=√[(4k)^2-4*(-4)]
=4√[k^2+1]
=4√2
∴k^2+1=2,解得k=±1
∴过点F直线方程为 x=±y+1,即y=±(x-1)