设A为 m×n矩阵,B为m×1矩阵,试说明r(A)与r(A b)的大小关系
问题描述：
设A为 m×n矩阵,B为m×1矩阵,试说明r(A)与r(A b)的大小关系
答
因为 A 与 (A,b) 只少一列,所以 r(A) = r(A,b) 或 r(A) = r(A,b)-1.
r(A) = r(A,b)
(A,b) 的列组 与A的列组 等价
b 可由 A的列向量组线性表示
AX=b 有解
r(A) = r(A,b)-1 时结论与上面相反.这不可能设 a1,...,ar 是A的列向量组的一个极大无关组, 其中r = r(A), 则1. a1,...,ar, b 线性相关2. a1,...,ar, b 线性无关两者恰居其一.情形1.b可由a1,...,ar线性表示, r(A) = r(A,b)情形2.a1,...,ar, b 是(A,b)的列向量组的一个极大无关组故 r(A,b) = r + 1 = r(A)+1增加1个向量, 极大无关组不可能多2个向量