已知函数f(x)=log以a为底(ax^2-x+1\2)对数在【1,2】上恒为正数,求实数a的取值范围

问题描述:

已知函数f(x)=log以a为底(ax^2-x+1\2)对数在【1,2】上恒为正数,求实数a的取值范围

令g(x)=ax^2-x+1/2
因为a>0,所以g(x)开口向上,对称轴为x=1/(2a)
1)若a>1, 则对称轴x0,得:a-1/2>1, 即a>3/2
2)若0故0得:1/2得:1/2
综合1),2)得a的取值范围:a>3/2或1/2

当a>1时,
题意相当于g(x)=ax^2-x+1/2在【1,2】上恒大于1,(a>0)
ax^2-x+1/2的对称轴为x=1/2a,
当0<1/2a≤1,即a≥1/2时,要有g(1)=a-1/2>1,a>3/2;
当1<1/2a<2,即1/4<a<1/2,要有g(1/2a)=(2a-1)/4a>1,不成立;
当1/2a≥2,即a≤1/4时,要有g(2)=4a-3.5>1,不成立;
综上可得实数a>3/2.