已知函数f(x)=3sinx•cosx+sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得出?
问题描述:
已知函数f(x)=
sinx•cosx+sin2x.
3
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得出?
答
(I)∵函数f(x)=
sinx•cosx+sin2x=
3
sin2x+
3
2
=sin(2x−1−cos2x 2
)+π 6
1 2
∴函数f(x)的最小正周期为π; …(5分)
由2kπ−
≤2x−π 2
≤2kπ+π 6
(k∈Z)⇒kπ−π 2
≤x≤kπ+π 6
(k∈Z),π 3
∴f(x)的单调递增区间是[kπ−
,kπ+π 6
],(k∈Z). …(8分)π 3
(Ⅱ)∵f(x)=sin(2x−
)+π 6
=sin2(x−1 2
)+π 12
,1 2
∴先由函数y=sin2x的图象向右平移
个单位,再把图象向上平移π 12
个单位,即可得到函数f(x)的图象.…(12分)1 2