已知函数f(x)=3sinx•cosx+sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得出?

问题描述:

已知函数f(x)=

3
sinx•cosx+sin2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)函数f(x)的图象可由函数y=sin2x的图象经过怎样的变换得出?

(I)∵函数f(x)=

3
sinx•cosx+sin2x=
3
2
sin2x+
1−cos2x
2
=sin(2x−
π
6
)+
1
2

∴函数f(x)的最小正周期为π; …(5分)
2kπ−
π
2
≤2x−
π
6
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)⇒kπ−
π
6
≤x≤kπ+
π
3
(k∈Z)

∴f(x)的单调递增区间是[kπ−
π
6
,kπ+
π
3
]
,(k∈Z). …(8分)
(Ⅱ)∵f(x)=sin(2x−
π
6
)+
1
2
=sin2(x−
π
12
)+
1
2

∴先由函数y=sin2x的图象向右平移
π
12
个单位,再把图象向上平移
1
2
个单位,即可得到函数f(x)的图象.…(12分)