f(x)在[a,b]可微,在(a,b)可导,且f(a)=f(b)=0,证明：任意的一个m属于R,存在一个c属于(a,b)使得f'(x)=mf(c)
问题描述：
f(x)在[a,b]可微,在(a,b)可导,且f(a)=f(b)=0,证明：任意的一个m属于R,存在一个c属于(a,b)使得f'(x)=mf(c)
答
题目是不是写错了啊?
是f'(c)=mf(c)吧.
证明：
构造函数g(x)=[e^(-mx)]*f(x)
显然g(a)=g(b)=0
对g(x)求导：
g'(x) = -m[e^(-mx)]*f(x)+[e^(-mx)]*f'(x)
= [e^(-mx)]*[-mf(x)+f'(x)]
由于g(a)=g(b)=0,所以,在[a,b]至少存在一点c,使得g'(c)=0.
也就是 [e^(-mc)]*[-mf(c)+f'(c)]=0
又因为e^(-mc)始终大于0
所以：[-mf(c)+f'(c)]=0
f'(c)=mf(c)