已知a为任意自然数,证明代数式(1/4a^4)-(1/2a^3)+(1/4a^2)的值一定是整数,且为一完全平方数
问题描述：
已知a为任意自然数,证明代数式(1/4a^4)-(1/2a^3)+(1/4a^2)的值一定是整数,且为一完全平方数
答
(1/4a^4)-(1/2a^3)+(1/4a^2)
=(a^4-2a^3+a^2)/4
=[a^2*(a-1)^2]/4
=[a(a-1)/2]^2
a,a-1中必有一个是偶数，那么a(a-1)/2也必是整数
所以原代数式必是整数且是完全平方数
答
(1/4a^4)-(1/2a^3)+(1/4a^2)
=a^2/4*(a^2-2a+1)
=[a(a-1)/2]^2
因为,a,(a-1)必有一个是偶数
所以,a(a-1)/2是整数
所以,
代数式(1/4a^4)-(1/2a^3)+(1/4a^2)的值一定是整数,且为一完全平方数